Khái niệm cực trị hàm số và các định lý về cực trị của hàm số

Bài viết chúng ta sẽ cùng tìm hiểu 1 số dạng bài tập có liên quan đến cực trị của hàm số cơ bản. Các dạng bài tập này chủ yếu giúp chúng ta tìm tham số của m để hàm số đã cho có cực trị và thảo mãn 1 yêu cầu nào đó của bài toán. Chúng ta thường gặp 1 số dạng sau và trước hết chúng ta cùng ôn lại một số lý thuyết nhé

1/ Khái niệm cực trị hàm số:

Cho hàm số f(x) xác định trên tập hợp D (D⊂R), x₀ ∈ D

a) Gọi x₀ là 1 điểm cực đại của hàm số f(x) nếu như tồn tại 1 khoảng (a;b) có chứa điểm x₀ sao cho (a;b) ⊂ D và ta có f(x) < f( x₀) với mọi x ∈ (a;b) ∖ {x₀}. Khi đó ta có f(x₀) gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x) này.

b) Gọi x₀ là 1 điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại 1 khoảng (a;b) có chứa điểm x₀ này sao cho (a;b) ⊂ D và ta có f(x) > f(x₀) với mọi điểm x ∈ (a;b) ∖ {x₀}. Khi đó f(x₀) gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f(x).

Vậy giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số được gọi chung là cực trị của hàm số

Nếu x₀ là 1 điểm cực trị của hàm số f(x) thì hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm là x₀.

Như vậy điểm cực trị của hàm số phải là 1 điểm nằm trong tập hợp D (D⊂R)

2/  Điều kiện cần để 1 hàm số đạt cực trị:

Định lý 1: Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x₀. Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x₀  thì ta có f′(x₀) = 0

Lưu ý:

Đạo hàm f’(x) có thể có giá trị bằng 0 tại điểm x₀ nhưng f(x) sẽ không đạt cực trị tại điểm x₀.

Hàm số f(x) có thể đạt cực trị tại 1 điểm mà tại điểm đó hàm số f(x)  không có đạo hàm.

Hàm số f(x) chỉ có thể đạt cực trị tại 1 điểm mà tại điểm đó đạo hàm của hàm số f(x) bằng 0, hoặc là tại điểm đó hàm số f(x)  không có đạo hàm.

3/ Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

a/ Định lý 2:

Giả sử 1 hàm số f(x) liên tục trên (a;b) có chứa điểm x₀ và có đạo hàm trên (a;x₀) và (x₀;b). Khi đó ta có

• Nếu  hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x₀. Hay nói cách khác nếu f′(x) đổi dấu âm sang dương khi x qua x₀ thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x₀.

• Nếu hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x₀. Hay nói cách khác nếu f′(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x₀ thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x₀.

b/ Định lý 3

Giả sử ta có hàm số f(x) có đạo hàm cấp 1 trên (a,b) có chứa điểm x₀ thì f′(x₀) = 0 và f(x) sẽ có đạo hàm cấp 2 # 0 tại điểm x₀ này.

a) Nếu ta có f′′(x₀) < 0 thì hàm số f(x) sẽ đạt cực đại tại điểm x₀.

b) Nếu ta có f′′(x₀) > 0 thì hàm số f(x) sẽ đạt cực tiểu tại điểm x₀.

4/  Quy tắc tìm cực trị của hàm số

a/ Quy tắc 1: áp dụng định lý 2 về cực trị của hàm số

Tìm đạo hàm f′(x)

Tìm điểm x_i (với i=1,2,3…) mà tại đó đạo hàm f′(x) bằng 0 hay hàm số f(x) liên tục nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.

Xét dấu f′(x) Nếu đạo hàm f′(x) đổi dấu khi x qua điểm x₀ thì hàm số f(x) có cực trị tại điểm x₀ này.

b/ Quy tắc 2: áp dụng định lý 3 về cực trị của hàm số

Tìm đạo hàm f′(x)

Tìm các điểm là nghiệm x_i( với i=1,2,3…) của đạo hàm f′(x)=0

Với mỗi điểm x_i ta tính f′′(x_i).

Nếu f′′(x_i)<0 thì ta có hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x_i.

Nếu f′′(x_i)>0 thì ta có hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x_i.

Ví dụ:

Tìm cực trị của hàm số f(x) = 8 − 2 cosx − cos2x

Giải:

Ta có hàm số f(x) liên tục và xác định trên R

Khi đó ta có f′(x) = 2sinx + 2 sin2x = 2sinx (1 + 2cosx)

f′(x) = 2sin⁡x + 2sin⁡2x = 2sin⁡x (1+2cos⁡x)

Nếu  f′(x) = 0 ⇔ sinx=0 và cosx =−½ ⇔ x = kπ và x = ±2π / 3 + k2π (với k∈Z)

f′′(x) = 2cosx + 4cos2x

        f″(x) = 2cos⁡x + 4cos⁡2x

f′′(±2π / 3 + k2π) = −3 < 0

Hàm số đạt giá trị cực đại tại x= ±2π / 3 + k2π

f(±2π / 3+k2π) = 9 / 2 

f′′(kπ) = 2coskπ + 4 > 0 

Hàm số đạt cực giá trị tiểu tại x=kπ

khi đó f(kπ) = 2(1 − coskπ)